Basic Maths Test - 01

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1. Given that P = Q = R. If $\underset{P}{\rightarrow}$ + $\underset{Q}{\rightarrow}$ = $\underset{R}{\rightarrow}$ then the angle between $\underset{P}{\rightarrow}$ & $\underset{R}{\rightarrow}$ is θ₁. If $\underset{P}{\rightarrow}$ + $\underset{Q}{\rightarrow}$ + $\underset{R}{\rightarrow}$ = $\underset{O}{\rightarrow}$ then the angle between $\underset{P}{\rightarrow}$ & $\underset{R}{\rightarrow}$ is θ₂. What is the relation between θ₁ and θ₂ ?
दिया है P = Q = R; यदि $\underset{P}{\rightarrow}$ + $\underset{Q}{\rightarrow}$ + $\underset{R}{\rightarrow}$ हो, तो $\underset{P}{\rightarrow}$ तथा $\underset{R}{\rightarrow}$ के मध्य कोण θ₁ है। र्या $\underset{P}{\rightarrow}$ + $\underset{Q}{\rightarrow}$ + $\underset{R}{\rightarrow}$ = $\underset{O}{\rightarrow}$ हो, तो $\underset{P}{\rightarrow}$ तथा $\underset{R}{\rightarrow}$ के मध्य कोण θ₂ है। तथा θ₂ मे सम्बन्ध होगा।

(1) θ₁ = θ₂

(2) θ₁ = $\frac{\theta _{2}}{2}$

(3) θ₁ = 2θ₂

(4) None of the above

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2. At what angle must the two forces (x + y) and (x - y) act so that the resultant may be $\sqrt{\left ( X^{2} +Y^{2}\right )}$ ?
दो बल (x + y) व (x -y) इस प्रकार कार्यरत हैं कि उनका परिणामी बल $\sqrt{\left ( X^{2} +Y^{2}\right )}$ है।

(1) $\cos ^{-1}\left [ \frac{-\left ( X^{2}+Y^{2} \right )}{2\left ( X^{2} -Y^{2}\right )} \right ]$

(2) $\cos ^{-1}\left [ \frac{-2\left ( X^{2}-Y^{2} \right )}{X^{2}+Y^{2}} \right ]$

(3) $\cos ^{-1}\left [ \frac{-2\left ( X^{2}+Y^{2} \right )}{X^{2}-Y^{2}} \right ]$

(4) $\cos ^{-1}\left [ \frac{\left ( X^{2}-Y^{2} \right )}{X^{2}+Y^{2}} \right ]$

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3. The resultant of two vectors $\underset{P}{\rightarrow}$ and $\underset{Q}{\rightarrow}$ is $\underset{R}{\rightarrow}$ . If $\underset{Q}{\rightarrow}$ is doubled then the new resultant vector is perpendicular to ' $\underset{P}{\rightarrow}$ '. Then R is equal to :
दो सदिशों $\underset{P}{\rightarrow}$ व $\underset{Q}{\rightarrow}$ का परिणामी $\underset{R}{\rightarrow}$ य $\underset{Q}{\rightarrow}$ को दुगुना कर दिया जाए, तो नया परिणामी, सदिश $\underset{P}{\rightarrow}$ के लम्बवत् हो जाता है। तो परिणामी R का मान है

(1) $\left ( \frac{P^{2}-Q^{2}}{2PQ} \right )$

(2) Q

(3) $\frac{P}{Q}$

(4) $\frac{P+Q}{P-Q}$

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4. A vector of length $l$ is turned through the angle θ about its tail. What is the change in the position vector of its head ?
एक $l$ लम्बाई का सदिश उसकी पूंछ के सापेक्ष θ कोण से घुमाया जाता है, तो उसके सिर के स्थिति सदिश में परिवर्तन होगा

(1) $l\cos \left ( \frac{\theta }{2} \right )$

(2) $2l\sin \left ( \frac{\theta }{2} \right )$

(3) $2l\cos \left ( \frac{\theta }{2} \right )$

(4) $l\sin \left ( \frac{\theta }{2} \right )$

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5. A vector $\underset{A}{\rightarrow}$ points vertically upward and $\underset{B}{\rightarrow}$ points towards north. The vector product $\underset{A}{\rightarrow}$ × $\underset{B}{\rightarrow}$ is
यदि सदिश $\underset{A}{\rightarrow}$ उर्ध्वाधर ऊपर की ओर इंगित है तथा $\underset{B}{\rightarrow}$ उत्तर की ओर इंगित है, तो सदिश गुणनफल $\underset{A}{\rightarrow}$ × $\underset{B}{\rightarrow}$ की दिशा है

(1) zero
शून्य सदिश के समान

(2) along west
पश्चिम की ओर

(3) along east
उत्तर की ओर

(4) vertically downward
उर्ध्वाधर नीचे की ओर

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6. A unit radial vector $\hat{r}$ makes angles of α = 30° relative to the x-axis, β = 60° relative to the y-axis, and $\gamma$ = 90° relative to the z-axis. The vector $\hat{r}$ can be written as :
एक त्रिज्यीय एकांक सदिश $\hat{r}$ , x-अक्ष के सापेक्ष कोण α = 30° तथा y-अक्ष के सापेक्ष कोण β = 60° औ z-अक्ष के सापेक्ष कोण $\gamma$ - 90° बनाये, तो $\hat{r}$ होगा :

(1) $\frac{1}{2}\hat{i}+\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{j}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i}+\frac{1}{2}\hat{j}$

(3) $\frac{\sqrt{2}}{3}\hat{i}+\frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j}$

(4) None of these

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7. Six vectors, $\underset{a}{\rightarrow}$ through $\underset{f}{\rightarrow}$ have the magnitudes and directions indicated in the figure. Which of the following statements is true ?
$\underset{a}{\rightarrow}$ से $\underset{f}{\rightarrow}$ तक छ: सदिशों के परिमाणों और दिशाओं को, दिये गये चित्र (आरेख) में प्रदर्शित किया गया है। निम्नलिखित में से कौनसा कथन इनके लिये सत्य (सही) है ?

(1) $\underset{b}{\rightarrow}$ + $\underset{e}{\rightarrow}$ = $\underset{f}{\rightarrow}$

(2) $\underset{b}{\rightarrow}$ + $\underset{c}{\rightarrow}$ = $\underset{f}{\rightarrow}$

(3) $\underset{d}{\rightarrow}$ + $\underset{c}{\rightarrow}$ = $\underset{f}{\rightarrow}$

(4) $\underset{d}{\rightarrow}$ + $\underset{e}{\rightarrow}$ = $\underset{f}{\rightarrow}$

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8. If | $\underset{A}{\rightarrow}$ × $\underset{B}{\rightarrow}$ |= $\sqrt{3}$ $\underset{A}{\rightarrow}$ . $\underset{B}{\rightarrow}$ , then the value of | $\underset{A}{\rightarrow}$ + $\underset{B}{\rightarrow}$ | is :
यदि | $\underset{A}{\rightarrow}$ × $\underset{B}{\rightarrow}$ | = $\sqrt{3}$ $\underset{A}{\rightarrow}$ . $\underset{B}{\rightarrow}$ हो, तो | $\underset{A}{\rightarrow}$ + $\underset{B}{\rightarrow}$ | का मान होगा

(1) $\left [ A^{2} + B^{2} +\frac{AB}{\sqrt{3}}\right ]^{\frac{1}{2}}$

(2) A + B

(3) $\left ( A^{2}+B^{2}+\sqrt{3} A B \right )^{\frac{1}{2}}$

(4) $\left ( A^{2}+B^{2}+AB \right )\frac{1}{2}$

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9. The vectors $\underset{A}{\rightarrow}$ and $\underset{B}{\rightarrow}$ are such tha | $\underset{A}{\rightarrow}$ + $\underset{B}{\rightarrow}$ | = | $\underset{A}{\rightarrow}$ - $\underset{B}{\rightarrow}$ |. The angle between vectors $\underset{A}{\rightarrow}$ and $\underset{B}{\rightarrow}$ is -
सदिश $\underset{A}{\rightarrow}$ तथा $\underset{B}{\rightarrow}$ इस प्रकार है कि | $\inline \underset{A}{\rightarrow}$ + $\underset{B}{\rightarrow}$ |= | $\underset{A}{\rightarrow}$ - $\underset{B}{\rightarrow}$ | तो सदिश $\underset{A}{\rightarrow}$ तथा $\underset{B}{\rightarrow}$ के मध्य कोण होगा

(1) 90°

(2) 60°

(3) 75°

(4) 45°

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10. If three vectors satisfy the relation $\underset{A}{\rightarrow}$ . $\underset{B}{\rightarrow}$ = O and $\underset{A}{\rightarrow}$ . $\underset{C}{\rightarrow}$ = O , then $\underset{A}{\rightarrow}$ can be parallel to
तीन सदिश यदि सम्बन्धों $\underset{A}{\rightarrow}$ . $\underset{B}{\rightarrow}$ = 0 औ $\underset{A}{\rightarrow}$ . $\underset{C}{\rightarrow}$ =0 को संतुष्ट करते हैं। तो सदिश $\underset{A}{\rightarrow}$ निम्न में से किसके समान्तर हो सकता है ?

(1) $\underset{C}{\rightarrow}$

(2) $\underset{B}{\rightarrow}$

(3) $\underset{B}{\rightarrow}$ × $\underset{C}{\rightarrow}$

(4) $\underset{B}{\rightarrow}$ . $\underset{C}{\rightarrow}$

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11. The moon's distance from the earth is 360000 km and its diameter subtends an angle of 42' at the eye of the observer. The diameter of the moon is
चन्द्रमा की पृथ्वी से दूरी 360000 km है आंख पर इसके व्यास द्वारा बनाया गया कोण 42' है। का व्यास होगा

(1) 4400 km

(2) 1000 km

(3) 3600 km

(4) 8800 km

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12. If the magnitude of sum of two vectors is equal to the magnitude of difference of the two vectors, the angle between these vectors is :-
यदि दो सदिशों के योग का परिमाण उन दो सदिशों के अंतर के परिमाण के बराबर है, तो इन सदिशों के बीच कोण है :

(1) 0°

(2) 90°

(3) 45°

(4) 180°

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13. Given that $\underset{A}{\rightarrow}$ + $\underset{B}{\rightarrow}$ + $\underset{C}{\rightarrow}$ = $\underset{O}{\rightarrow}$ . Out of these three vectors two are equal in magnitude and the magnitude of the third vector is $\sqrt{2}$ times that of either of the two having equal magnitude. Then the angles between vectors are :
दिया है $\underset{A}{\rightarrow}$ + $\underset{B}{\rightarrow}$ + $\underset{C}{\rightarrow}$ = $\underset{O}{\rightarrow}$ ; इन तीन सदिशों में से दो सदिशों के परिमाण समान हैं तथा तीसरे सदिश का परिमाण, समान परिमाण वाले किसी एक सदिश के परिमाण का $\sqrt{2}$ गुना है। तो सदिशों के मध्य कोण होंगे (क्रमश:)

(1) 30^o, 60^o, 90º

(2) 45^o, 45^o, 90^o

(3) 45^o, 60^o, 90^o

(4) 90^o, 135^o, 135^o

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14. The kinetic energy of a particle of mass m moving with speed v is given by K = $\frac{1}{2}$ mv² . If the kinetic energy of a particle moving along x-axis varies with x as K(x) = 9 - x². then the region in which particle lies is :
चाल v से गतिशील द्रव्यमान m वाले कण की गतिज ऊर्जा K= $\frac{1}{2}$ mv² से दी जाती है। यदि x-अक्ष के अनुदिश गति कर रहे कण की गतिज ऊर्जा x के साथ K (x) = 9 - x² के अनुसार परिवर्तित हो रही हो, तो कण किस क्षेत्र में मिलेगा :

(1) x ≥ 9

(2) 3 ≤ x ≤ 3

(3) 0 ≤ x ≤ 9

(4) ∞ < x < ∞

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15. If velocity of a particle is given by v = (2t + 3) m/s,then average velocity in interval 0 ≤ t ≤ 1s is :
यदि एक कण का वेग समीकरण v= (2t + 3) m/s से दिया जाता है, तो अंतराल 0≤t≤ 1s में औसत वेग है:

(1) $\frac{7}{2}$ m/s

(2) $\frac{9}{2}$ m/s

(3) 4 m/s

(4) 5 m/s

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16. Find the torque ( $\underset{t}{\rightarrow}$ = $\underset{r}{\rightarrow}$ × $\underset{F}{\rightarrow}$ ) of a force $\underset{F}{\rightarrow}$ = -3 $\hat{i}$ + $\hat{j}$ + 5 $\hat{k}$ r acting at the point $\underset{r}{\rightarrow}$ = 7 $\hat{i}$ + 3 $\hat{j}$ + $\hat{k}$
एक बल $\underset{F}{\rightarrow}$ = 3 $\hat{i}$ + $\hat{j}$ +5 $\hat{k}$ , एक बिन्दु $\underset{r}{\rightarrow}$ = 7 $\hat{i}$ +3 $\hat{j}$ + $\hat{k}$ पर कार्यरत है, तो बल आघूर्ण ( $\underset{t}{\rightarrow}$ = $\underset{r}{\rightarrow}$ × $\underset{F}{\rightarrow}$ ) ज्ञात कीजिए :

(1) 14 $\hat{i}$ - 38 $\hat{j}$ +16 $\hat{k}$

(2) 4 $\hat{\hat{i}}$ + 4 $\hat{j}$ + 6 $\hat{k}$

(3) -14 $\hat{i}$ + 38 $\hat{j}$ -16 $\hat{k}$

(4) -21 $\hat{i}$ + 3 $\hat{j}$ - 5 $\hat{k}$

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17. Two vectors $\underset{A}{\rightarrow}$ and $\underset{B}{\rightarrow}$ are such that $\underset{A}{\rightarrow}$ + $\underset{B}{\rightarrow}$ = $\underset{A}{\rightarrow}$ - $\underset{B}{\rightarrow}$ . Then select incorrect alternative
दो सदिश $\underset{A}{\rightarrow}$ एवं $\underset{B}{\rightarrow}$ ऐसे है कि $\underset{A}{\rightarrow}$ + $\underset{B}{\rightarrow}$ = $\underset{B}{\rightarrow}$ - $\underset{A}{\rightarrow}$ , तो गलत कथन चुनिए :

(1) $\underset{A}{\rightarrow}$ . $\underset{B}{\rightarrow}$ = 0

(2) $\underset{A}{\rightarrow}$ × $\underset{B}{\rightarrow}$ = $\underset{O}{\rightarrow}$

(3) $\underset{A}{\rightarrow}$ = $\underset{O}{\rightarrow}$

(4) $\underset{B}{\rightarrow}$ = $\underset{O}{\rightarrow}$

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18. Square of the resultant of two forces of equal magnitude is equal to three times the product of their magnitude. The angle between them is :
दो समान परिमाण के बलों के परिणामी का वर्ग उनके परिमाणों के गुणनफल का तीन गुना है। तो उनके मध्य का कोण होगा

(1) 0°

(2) 45°

(3) 60°

(4) 90°

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19. If 3 cosθ + 4 sinθ= A sin(θ + α), then values of A and α are
यदि 3 cosθ + 4 sinθ = Asin (θ + α) है, Aएवं α के मान है

(1) 5, $\cos ^{-1}\left ( \frac{3}{5} \right )$

(2) 5, $\sin ^{-1}\left ( \frac{3}{5} \right )$

(3) 7, $\sin ^{-1}\left ( \frac{4}{5} \right )$

(4) None of these

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20. If | $\underset{A}{\rightarrow}$ × $\underset{B}{\rightarrow}$ |=| $\underset{A}{\rightarrow}$ . $\underset{B}{\rightarrow}$ |, then the angle between $\underset{A}{\rightarrow}$ and $\underset{B}{\rightarrow}$ will be :
यदि | $\underset{A}{\rightarrow}$ × $\underset{B}{\rightarrow}$ = | $\underset{A}{\rightarrow}$ . $\underset{B}{\rightarrow}$ | तो $\underset{A}{\rightarrow}$ और $\underset{B}{\rightarrow}$ के मध्य कोण होगा:

(1) 30°

(2) 45°

(3) 60°

(4) 75°

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